Qual a ordem de sucessão do companheiro?

Resposta desatualizada. Desde o RExt 878694, a sucessão do companheiro é a mesma do cônjuge, devendo ser aplicado o artigo 1829ss. do Código Civil.

A resposta abaixo continua para os que prestaram concurso antes de Maio de 2017 e desejam conferir se acertaram:

Art. 1.790. A companheira ou o companheiro participará da sucessão do outro, quanto aos bens adquiridos onerosamente na vigência da união estável, nas condições seguintes:
I - se concorrer com filhos comuns, terá direito a uma quota equivalente à que por lei for atribuída ao filho;
II - se concorrer com descendentes só do autor da herança, tocar-lhe-á a metade do que couber a cada um daqueles;
III - se concorrer com outros parentes sucessíveis, terá direito a um terço da herança;
IV - não havendo parentes sucessíveis, terá direito à totalidade da herança.

Fazemos nossos os comentários de Zeno Veloso ao artigo na obra "Código Civil Comentado, 9ª edição, Saraiva, 2013, p. 1768ss":

"A partir da leitura do caput do artigo 1.790, vemos que a sucessão do companheiro se limita e restringe aos bens adquiridos onerosamente na vigência da união estável. Quanto a esses bens adquiridos onerosamente durante a convivência, o companheiro em regra já é meeiro, conforme o artigo 1.725.
Essa restrição da incidência do direito sucessório do companheiro sobrevivente aos bens adquiridos onerosamente pelo de cujus na vigência da união estável não tem nenhuma razão, quebra todo o sistema, podendo gerar consequências extremamente injustas: a companheira de muitos anos de um homem rico, que possuía vários bens na época em que iniciou o relacionamento afetivo, não herdará coisa alguma do companheiro, se este não adquiriu (onerosamente!) outros bens durante o tempo da convivência. Ficará essa mulher - se for pobre - literalmente desamparada, a não ser que o falecido,vencendo as superstições que rodeiam o assunto, tivesse feito um testamento que a beneficiasse.
Observada essa criticada limitação quanto aos bens que serão objeto da sucessão, o artigo 1.790, I, dispõe que, se concorrer o companheiro sobrevivente com filhos comuns, terá direito a quota equivalente à que por lei lhe for atribuída ao filho. Orlando Gomes (Sucessões, coord. Edvaldo Brito, 12, ed. atual por Mario Roberto Carvalho de Faria, Rio de Janeiro, Forense, 2004, n 58, p 62) observa que, concorrendo com filhos comuns, a sucessão se dá por cabeça, repartindo-se a herança em tantas partes quantos forem os herdeiros, filhos do companheiro e do de cujus, mas, "inexplicavelmente, o legislador limitou no inciso I a concorrência somente aos filhos comuns, em vez de estendê-la a toda a classe dos descendentes, o que faz quando a concorrência somente aos filhos comuns, em vez de estendê-la a toda a classe dos descendentes, o que faz quando a concorrência se dá com descendentes somente do autor da herança, prevista no inciso II. Não sendo proposital a restrição, deve-se atribuir à falta de técnica legislativa, provocando dúvida na exegese do referido mandamento". Onde, por descuido, escreveu-se filhos comuns, no inciso I, do artigo 1.790, leia-se descendentes comuns.
O inciso II do artigo 1.790 prevê a hipótese de concorrer o companheiro com descendentes só do autor da herança, tocando-lhe a metade do que couber a cada um dos descendentes.
Concorrendo com descendentes comuns, o companheiro sobrevivente tem direito a uma quota equivalente à do descendente (art. 1.790, I); concorrendo com descendentes só do autor da herança, tocará ao companheiro sobrevivente metade do que couber a cada um dos descendentes (art. 1.790, II). Mas temos de estar atentos para o caput do artigo 1.790. A herança possível do companheiro é representada pelos bens comuns. Os bens particulares do de cujus não integram a herança, quanto ao companheiro sobrevivente. Assim, na concorrência com os descendentes do falecido, a quota do companheiro incide apenas sobre o que os descendentes receberem nos bens comuns, vale dizer, nos bens que tenham sido adquiridos onerosamente na vigência da união estável.
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Como vimos, o artigo 1.790, I, prevê a hipótese de o companheiro sobrevivente concorrer com descendentes comuns, e o inciso II do mesmo artigo resolve o caso de a concorrência se dar entre o companheiro sobrevivente e os descendentes só do autor da herança. Como fica resolvida a situação, porém, se o companheiro sobrevivente concorrer com descendentes comuns e descendentes exclusivos do falecido? Não há fórmula matemática ou jurídica que consiga conciliar ou compor, satisfatoriamente, os incisos I e II, do artigo 1.790, até porque uma leitura constitucional é indispensável, e o princípio da igualdade entre os filhos não admite que eles recebam quotas hereditárias diferentes. No livro Direito de família e o novo Código Civil (coords. Maria Berenice Dias e Rodrigo da Cunha Pereira, 4ª ed., Belo Horizonte, Del Rey/IBDFAM, 2006, p. 244) abordei o direito sucessório dos companheiros e opinei, diante da situação antes referida, ou seja, concorrer o companheiro com descendentes comuns e descendentes apenas do falecido, que deve prevalecer o disposto no inciso II, do artigo 1.790, cabendo ao companheiro sobrevivente, então, a metade do que couber a cada descendente do autor da herança, justificando: "A solução que proponho, tentando remediar a falha do legislador, e enquanto a lei não é reformada, pode prejudicar o companheiro sobrevivente - que estaria mais do que gratificado se o escolhido fosse o inciso I -, mas não desfavorece os descendentes exclusivos do de cujus, não se devendo esquecer que os filhos do companheiro sobrevivente ainda têm a expectativa de herdar deste." 
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O inciso III do artigo 1.790 trata da concorrência do companheiro com outros parentes sucessíveis, quando terá direito a um terço da herança . Sim, o leitor não está enganado: dois terços da herança caberão a esses outros parentes sucessíveis, e um terço da herança ao companheiro sobrevivente!. Como os incisos I e II já trataram dos descendentes, os outros parentes sucessíveis, mencionados no inciso III, do artigo 1.790, s~~ao os ascendentes e os colaterais - os primeiros sem limitação de grau; os colaterais, até o quarto grau. Mas esses parentes sucessíveis não podem ser convocados ao mesmo tempo, como, por exemplo, se houver pais e irmãos do falecido. Deve ser observada a ordem de vocação hereditária do artigo 1.829, tanto com relação às classes como aos graus. O primeiro problema que se tem de enfrentar é saber, exatamente, qual o monte-mor possível, para, depois estabelecer a divisão. O companheiro só pode aspirar a uma parte dos bens adquiridos onerosamente durante a convivência, como diz o caput do artigo 1.790, ou, agora, na concorrência com outros herdeiros sucessíveis, a disputa se dá considerando a herança inteira, sem preocupação quanto à época ou ao modo de aquisição dos bens? Imagine-se o caso de uma união estável em que não houve aquisição onerosa de bens durante a convivência. O companheiro, dono de vários imóveis, falece, sem deixar testamento. Não tem o autor da herança parentes na linha reta, quer descendentes, quer ascendentes. Mas um primo dele soube que o familiar rico faleceu e se habilita, como único herdeiro, para ficar com todos os bens do de cujus. Alguns autores não se conformam com essa solução e expõem um entendimento que extrapola os lindes impostos pelo legislador. Tentando salvar o Código Civil da terrível pecha de ter regido a sucessão dos protagonistas de famílias constituídas pela união estável de forma insensata e absurda, com total desprezo e deliberado desrespeito a tais relacionamentos, opinam que o inciso III do artigo 1790, ao mencionar "herança", quer dizer a totalidade dos bens deixados pelo falecido. E mesmo com essa interpretação avançadíssima, que desconsidera o princípio antiquíssimo de hermenêutica de que o estatuído no caput do dispositivo legal norteia e condiciona o estabelecido nas demais partes - parágrafos, alíneas, incisos - , pelo menos com relação à concorrência com os colaterais, a solução é injusta, inconcebível, disparatada: o parente colateral - um tio-avô, um sobrinho-neto, p. ex. - ficará com dois terços da herança e o companheiro sobrevivente com um terço. 
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Por último, o inciso IV do artigo 1.790 enuncia que não havendo parentes sucessíveis, ou sjea, não tendo o falecido deixado descendentes, ascendentes nem colaterais até o quarto grau, o companheiro terá direito À totalidade da herança. De novo o problema se apresenta: o que entender por herança? O patrimônio inteiro deixado pelo hereditando? Ou somente os bens adquiridos onerosamente durante a convivência? A se preferir esta última opção, reducionista, presa ao caput do artigo 1790, se não houver bens comuns o companheiro sobrevivente fica afastado e toda a herança irá para o município (art. 1844). Mas, aqui, pode-se admitir que o inciso IV está abrindo, francamente, uma exceção ao caput do artigo 1.790. Em primeiro lugar, pela energia  que imprimiu à expressão: o companheiro terá direito à totalidade da herança. Depois - e principalmente -, se atentarmos para o artigo 1.844 que diz que a herança só fica vacante e é devolvida ao Poder Público se  não sobreviverem cônjuge ou companheiro, nem parente algum sucessível, ou tendo eles renunciado à herança. Esta interpretação homenageia a família constituída pela união estável; é mais justa e humana."