Quem deve abrir o testamento cerrado para que ele seja válido?

Art. 1.875. Falecido o testador, o testamento será apresentado ao juiz, que o abrirá e o fará registrar, ordenando seja cumprido, se não achar vício externo que o torne eivado de nulidade ou suspeito de falsidade.

Apenas o juiz de direito pode abrir o testamento cerrado. O procedimento se encontra no novo Código Civil, à parte referente ao processo de regsitro de testamento - arts. 735ss.

Em que língua pode ser feito o testamento público? E o particular?

À parte referente ao testamento cerrado, consta:

Art. 1.871. O testamento pode ser escrito em língua nacional ou estrangeira, pelo próprio testador, ou por outrem, a seu rogo.

E à seção referente ao testamento particular, temos:

Art. 1.880. O testamento particular pode ser escrito em língua estrangeira, contanto que as testemunhas a compreendam.

Não há disposição similar à seção referente ao testamento público e/ou especiais (art. 1.886, CC), de modo que essas duas regras são exceções. Isso se deve ao fato de que o instrumento público, por ser redigido por tabelião, tem de ser necessariamente redigido no vernáculo. Nos testamentos especiais, o comandante, capitão, oficial de patente ou superior hierárquico faz as vezes do tabelião. O testamento especial é equivalente ao público.

A incapacidade do testador superveniente ao testamento pode anulá-lo?

Art. 1.861. A incapacidade superveniente do testador não invalida o testamento, nem o testamento do incapaz se valida com a superveniência da capacidade.

Aplica-se, assim, a regra tempus regit actum para os testamentos.

O surdo-mudo pode testar por meio de testamento cerrado?

Art. 1.873. Pode fazer testamento cerrado o surdo-mudo, contanto que o escreva todo, e o assine de sua mão, e que, ao entregá-lo ao oficial público, ante as duas testemunhas, escreva, na face externa do papel ou do envoltório, que aquele é o seu testamento, cuja aprovação lhe pede.

Ao cego e ao analfabeto é que não é permitido o testamento cerrado, com base nos artigos 1.867 e 1.872 do Código Civil. 

O que se entende por testamento simultâneo ou correspectivo? É ele válido?

Trata-se do testamento em que duas pessoas, à mesma escritura, definem sua última disposição de vontade, beneficiando-se mutuamente. O artigo 1.863 do Còdigo Civil o proíbe em território nacional, nos seguintes termos:

É proibido o testamento conjuntivo, seja simultâneo, recíproco ou correspectivo.

Conforme lição de Zeno Veloso:

"Sendo o testamento negócio jurídico unilateral (mais que isso: unipessoal), revogável, personalíssimo,, a repulsa do Código ao testamento conjunto é plenamente justificável, considerando, também, que são terminantemente proibidos os pactos sucessórios (art. 426). A liberdade de testar e de revogar o testamento, que é princípio capital nesta matéria (art. 1.858), precisa ser rigorosamente preservada. O testamento conjuntivo arranharia esse princípio.
Mas nada impede que duas pessoas, em atos separados, ainda que na mesma data, perante o mesmo tabelião, façam testamentos dispondo em favorde um terceiro , ou mesmo, em proveito recíproco. Por sinal, isso ocorre com certa frequência, quando os testadores são amrido e mulher."

SILVA, Regina Beatriz Tavares da (coord). Còdigo Civil Comentado. 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013. p. 1.843-1.844.