Há possibilidade de se intentar uma ação sem advogado?

Sim. Há possibilidade de se intentar ação sem advogado na Justiça Trabalhista, inclusive na apresentação de recursos à Segunda Instância. A Súmula 425, do TST, apresenta claramente as exceções:

O jus postulandi das partes, estabelecido no artigo 791 da CLT, limita-se às Varas do Trabalho e aos Tribunais Regionais do Trabalho, não alcançando a ação rescisória, a ação cautelar, o mandado de segurança e os recursos de competência do Tribunal Superior do Trabalho.

É o chamado jus postulandi, presente no artigo 721, da CLT.

Vê-se também o jus postulandi nos juizados especiais cíveis, para causas de valor de até 20 vezes o salário mínimo:

Art. 9º Nas causas de valor até vinte salários mínimos, as partes comparecerão pessoalmente, podendo ser assistidas por advogado; nas de valor superior, a assistência é obrigatória.

Mesmo nos Juizados Especiais Cíveis é preciso o auxílio de advogado para causas de valor entre 20 e 40 Salários Mínimos.

E, por fim, cite-se o remédio Constitucional do Habeas Corpus.